Exercícios de Matemática
- LISTA POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E PLANO EXERCÍCIOS RESOLVIDOS.
- GEOMETRIA: EQUAÇÃO DO PLANO E EQUAÇÃO DA RETA NO ESPAÇO.
- EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA PONTO E RETA.
Exercícios resolvidos de geometria analítica ensino médio pdf
ATIVIDADES MATEMATICA
📕 LISTA DE EXERCÍCIOS GEOMETRIA ANALÍTICA PDF 📚
Lista 2 - Geometria Analítica
1. Universidade Federal do ABC Geometria Analítica – Profa. Cecília Chirenti Lista 2 – Dependência Linear e Bases 1 Se possível, desenhe. Se impossível, explique por quê. (a) ( ⃗ ) ( ⃗⃗ ) (⃗ ⃗⃗ ) ������ ⃗⃗ ������ ������ ������ ������ ⃗ ������ ⃗⃗ ������ ⃗ (b) ( ⃗ ) ( ⃗⃗ ) (⃗ ⃗⃗ ) Considerando que as duas primeiras condições são verdadeiras e que dois vetores são sempre coplanares, ⃗ e ⃗⃗ estão no mesmo plano, portanto o conjunto dos três vetores não pode ser linearmente independente. (c) ( ⃗ ) ( ⃗ ⃗⃗ ) ( ⃗⃗ ) Admitindo as duas primeiras condições como verdadeiras, a terceira é impossível, pois os vetores ⃗ e ⃗⃗ são paralelos. (d) ( ⃗ ) ( ⃗ ⃗⃗ ) ( ⃗⃗ ) ������ ������ ⃗⃗ ������ ������ ⃗ ������ ⃗⃗ ������ ⃗ 2 Verdadeiro ou falso. Explique. (a) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ implica que A, B e C são colineares. Falso, conforme contraexemplo abaixo. A C B Resolvido por: Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelando em Ciência e Tecnologia
2. (b) Se os 4 pontos A, B, C e D são não coplanares, então os vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ também são não coplanares. Verdadeiro, conforme ilustração abaixo. θ D D B λ α C A γ Nota-se que ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ são não-coplanares. 3 Sendo ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ , prove que ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ são ld para qualquer O. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ O vetor ⃗⃗⃗⃗⃗ pôde ser escrito como combinação linear de ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ , portanto {⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ } é linearmente dependente para qualquer ponto O. 4 Dados os vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ tais que ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ , prove que os vetores , ⃗ e são ld. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Logo, { ⃗ } é ld. 5 Sejam ⃗ , ⃗ e ⃗ três vetores quaisquer, ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ e ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ . Prove que ⃗ , ⃗ e ⃗⃗⃗ são ld. Resolvido por: Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelando em Ciência e Tecnologia
3. Sendo , ⃗ e vetores ld, são também coplanares, portanto os vetores resultantes ⃗ , , ⃗⃗ são também coplanares e ld. Sendo , ⃗ e vetores li, podem formar a base ( ⃗ ). Logo, ⃗ ( ) ( ) ⃗⃗ ( ) | | *⃗ ⃗⃗ + 6 Sejam O, A, B e C quatro pontos tais que ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ . Sendo os vetores e ⃗ li, determine m para que os vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ sejam ld. Ilustre o problema com um desenho. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ( )⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ( )⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ são paralelos se, e somente se, existir tal que ( )⃗ [ ( )⃗ ] ( )⃗ ( )⃗ A igualdade é verdadeira se ( ) ( ) Substituindo a primeira igualdade na segunda: ( ) A ⃗ ������ ������ O B C 7 No ΔABC temos ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . Determine para que ⃗⃗⃗⃗⃗ fique paralelo ao vetor ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . C P Q A B i) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ii) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Resolvido por: Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelando em Ciência e Tecnologia
4. iii) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ Mas, ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ Logo, ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ⃗) ( )⃗ ( ) iv) ⃗⃗⃗⃗⃗ deve ser paralelo a ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , logo ( )⃗ . / deve ser paralelo à ⃗ , então deve existir tal que: ( )⃗ ( ) [⃗ ] Resolvendo a igualdade, obtém-se o sistema de equações: ( ) ÷ ( ) Para que ⃗⃗⃗⃗⃗ fique paralelo a ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , . 8 Dados os vetores ( ), ⃗ ( ) e ( ), escreva o vetor ( ) como combinação linear de , ⃗ e . ⃗ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Logo, e . Portanto: ⃗ 9 É possível escrever (0,0,1) como combinação linear de (1,2,1), (1,0,1) e (1,1,1)? Se quatro vetores de V³ são sempre ld, como interpretar a resposta anterior? ( ) ( ) ( ) ( ) Resolvido por: Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelando em Ciência e Tecnologia
5. ( ) ( ) O sistema é impossível, portanto não é possível escrever (0,0,1) como combinação linear de (1,2,1), (1,0,1) e (1,1,1). Para que os quatro vetores sejam ld, a igualdade ( ) ( ) ( ) ( ) ⃗ deve ser verificada, de forma que os coeficientes reais a, b ,c e g não sejam simultaneamente nulos. Como o primeiro vetor não é combinação linear dos demais e é sabido que quatro vetores são sempre ld, então o coeficiente g é nulo. Com g = 0, a igualdade verificar-se- á. 10 Os vetores ⃗ ( )e ( ) são paralelos. Determine as coordenadas de ⃗ . Se ⃗ e são paralelos a razão entre suas coordenadas e igual, portanto são válidas as igualdades Resolvendo a primeira igualdade, temos: Tomando a = 4 e resolvendo a segunda desigualdade: ( ) Tomando a = 1 e resolvendo a segunda desigualdade: ⁄ Para e ⁄ ,⃗ . /e ( ). Logo, ⃗ ( ) 11 ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ). Determine y e z sabendo que C pertence à reta AB. B O ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( ) C ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( ) A Resolvido por: Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelando em Ciência e Tecnologia
6. ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ são paralelos, portanto a razão entre suas coordenadas é constante. Logo, Primeira igualdade: Segunda igualdade: 12 Sejam ⃗ ( ), ( ) e ⃗⃗ ( ) Mostre que (⃗ ⃗⃗ ) é uma base de V³, independentemente do valor de m. | | ( ) ( ) (⃗ ⃗⃗ ) é uma base em V³ se, e somente se, . não possui zeros, portanto, , então ( ⃗ ⃗⃗ ) é sempre um conjunto de vetores linearmente independentes. 13 Seja (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) uma base. Sejam ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ . (a) Mostre que (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) também é uma base. | | Portanto, (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) é li e F uma base. (b) Resolva ( ) ( ) . ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Logo, ( ) ( ) . (c) Determine na base F as coordenadas de ( ) , - ( ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Resolvido por: Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelando em Ciência e Tecnologia
7. (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )⃗⃗⃗ ( )⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ (I) (II) (III) (I) em (II): (IV) (I) e (IV) em (III) Resposta: ( ) . / 14 Seja (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) uma base de V³. (a) Demonstre que (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ), com ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , é uma base em V³. | | Portanto, (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) é li e C uma base. (b) Se ( ) , quais são as coordenadas de na base C? Do enunciado de (a), temos: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Então, a matriz de mudança de base de B para C é: ( ) Para calcular o vetor na base C será necessário calcular antes a matriz ( ) . O cálculo será realizado em etapas: i) | | Resolvido por: Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelando em Ciência e Tecnologia
8. ii) ( ) iii) ( ) ( ) iv) ( ) ( ) ( ) Tendo calculado a matriz inversa é possível encontrar o vetor na base C. , - , - ⁄ ( ) ( ) ⁄ ( ⁄ ) ( ) ( ) Resposta: ( ) (c) Se ⃗ ( ) , quais as coordenadas de ⃗ na base B? [⃗ ] [⃗ ] [⃗ ] ( ) ( ) ( ) ( ) Reposta: ( ) 15 Dadas as bases E = ((-1,1,0)B,(1,1,2)B, (-1,0 1)B) e F = ((0,1,1)E, (1,2,-1)E, (2,-1,0)E), determine na base B as coordenadas de ( ) ( ) . ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) Resolvido por: Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelando em Ciência e Tecnologia
9. i) Escrevendo o vetor ( ) na base B: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) ii) Escrevendo o vetor ( ) na base E: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) iii) Escrevendo o vetor ( ) na base B: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) Resposta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Resolvido por: Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelando em Ciência e Tecnologia
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