Exercícios de Matemática
EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA (POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS E PLANOS)
ATIVIDADES MATEMÁTICA
📕 POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PDF 📚
Lista 5 - Geometria Analítica - Resolução
1. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano 1. Verifique se as retas r e s são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de intersecção. (a) ( ) ( ) ( ) ( ) Sendo ⃗ ( ) o vetor diretor da reta e ⃗ ( ) o vetor diretor da reta , verificaremos se ⃗ e são L.D. ou L.I.. ⃗ não pode ser escrito como múltiplo escalar de , portanto são L.I., ou seja, não paralelos. Para encontrar o ponto de intersecção deve-se igualar as coordenadas. (I) (II) (III) Isolando de (III) e substituindo em (II): ( ) Substituindo em (III): Substituindo e em (I), para testar a validade dos parâmetros: Logo, e é a solução do sistema. Substituindo na equação da reta s, obtemos o ponto de intersecção ( ). (b) O vetor diretor de r é ( )e⃗ ( ) o vetor diretor de s. Observa-se que ⃗ , então ⃗ e são paralelos e r e s são paralelas. (c) (I) (II) (III) O vetor diretor de r é ( ) e da reta s é ⃗ ( ). Como não é possível escrever em função de ⃗ , concluímos que r e s são não-paralelas. Substituindo na reta s, temos: Substituindo em (I) e (II): 1
2. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano Foi encontrado um único valor para , então o ponto de intersecção é composto por , e . Portanto, ( ). (d) O vetor diretor de r é ( ) e ⃗ ( ) o vetor diretor de s. Como não é possível escrever em função de ⃗ , concluímos que r e s são não-paralelas. Pela equação da reta r, temos que: Pela equação da reta s, temos que: Substituindo a coordenada z: Inserindo os valores encontrados nas equações da reta, obtemos: Não foi encontrado um valor único para z, portanto, não existe ponto de intersecção entre as retas. Como elas são não-paralelas, elas são reversas. 2. A altura e a mediana relativas ao vértice B do triângulo ABC estão contidas respectivamente, em ( ) ( ) e ( ) ( ). Sendo ( ), determine A e B. s B R M C A r 2
3. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano i) Parte 1: para encontrar o ponto B Igualando as coordenadas de r e s: Substituindo na primeira equação: ( ) Então: Então ( ) ii) Parte 2: para encontrar o ponto A ( ) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅̅̅̅ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) Então ⃗⃗⃗⃗⃗ . / Logo: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅; igualando-se as coordenadas tem-se: Resolvendo o sistema encontra-se Substituindo na equação da reta s obtém-se o ponto M. ( ) Como M é ponto médio de ( ) e ( ) temos as seguintes relações: Das equações acima: , e , portanto ( ). 3
4. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano 3. Estude a posição relativa das retas r e s: (a) ( ) ( ) ������ Inicialmente, escreveremos s na forma paramétrica: Substituindo na segunda equação: Admitindo que : ������ Temos as seguintes informações: ( ) ( ) ( ) ( ). Verificaremos se ( ) são L.D.: , logo são L.D. e as retas s e r são paralelas. – Substituindo ( ) em s: Igualdades não verificadas, portanto e r e s são paralelas distintas. (b) ������ ������ Escrevendo r na forma paramétrica: Da segunda equação temos , substituindo na primeira: Admitindo , ������ Escrevendo s na forma paramétrica: Da segunda equação temos , substituindo na primeira: ( ) Se então ( ) Admitindo , 4
5. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano ������ Agora conseguimos extrair as seguintes informações: ( ) ( ) ( ) ( ). não é múltiplo escalar de , portanto ( ) são L.I e r e s não são paralelas. ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗ [⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ Então r e s são concorrentes. (c) ( ) ( ) Informações: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) [⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ Logo, r e s são reversas. (d) ������ Escrevendo a equação da reta s na forma paramétrica: Da primeira equação obtemos: Substituindo na segunda Substituindo em ( ) Admitindo ������ Informações: ( ) ( ) ( ) ( ) 5
6. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano ( ) – Substituindo as coordenadas de S na equação de r A igualdade se verifica, portanto e r e s são paralelas e coincidentes. (e) ( ) ( ) ( ) ( ) Informações: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) [ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | ⃗⃗⃗⃗⃗ Logo, r e s são concorrentes. (f) Informações: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) [ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | ⃗⃗⃗⃗⃗ Logo, r e s são concorrentes. (g) ������ Escrevendo a equação da reta s na forma paramétrica: Da segunda equação obtemos: 6
7. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano Substituindo na primeira Substituindo em ( ) Admitindo ������ Informações: ( ) ( ) ( ) . / ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) [ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | ⃗⃗⃗⃗⃗ Logo, r e s são reversas. (h) ( ) ( ) Informações: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) [ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | ⃗⃗⃗⃗⃗ Logo, r e s são reversas. 7
8. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano 4. Sejam ( ) ( )e ( ) ( ). Estude, segundo valores de m, a posição relativa de r e s e obtenha, quando for o caso, uma equação geral do plano determinado por elas. Informações: ( ) ( ) ( ) ( ) * + Logo, r e s nunca serão paralelas. ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) [ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | Se [ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] Se [ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] Logo, se e se Com temos ( ) ( ). Seja ( ) um ponto qualquer do plano determinado por r e s, a equação do mesmo é dada por [⃗⃗⃗⃗⃗ ] . [⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | ( ) ( ) ( ) ( ) 5. Mostre que as retas r e s determinam um plano e obtenha a equação geral de . (a) Informações: ( ) . / ( ) ( ) ( ) 8
9. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano ( ) Então r e s formam um plano. Seja () um ponto qualquer do plano determinado por r e s, a equação do mesmo é dada por [⃗⃗⃗⃗⃗ ] . [⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | ( ) ( ) (b) Informações: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) – Substituindo as coordenadas de S na equação de r Igualdade não verificada, portanto e r e s são paralelas e distintas. Como são L.D., não podem determinar um plano. Então o plano será determinado por ⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) Seja () um ponto qualquer do plano determinado por r e s, a equação do mesmo é dada por [⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] . [⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] | | ( ) ( ) ( ) ( ) 6. Estude a posição relativa da reta r e do plano π e, quando forem transversais, obtenha o ponto de intersecção P. (a) 9
10. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano ( ) ( ) Informações: ( ) ( ) ⃗ ( ) – Vetor normal ao plano π ⃗ ⃗ Substituindo as coordenadas de r em π: ( ) Substituindo na equação de r, obtemos o ponto de intersecção: ( ) ( ) ( ) (b) ( ) ( ) ( ) Informações: ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ) , ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | | ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ – Substituindo as coordenadas de R em π, na forma paramétrica: (I) (II) (III) Das equações (II) e (III), e . Substituindo em (I): (sentença matemática falsa) Logo, e r em π são paralelos e r não está contida em . (c) ������ ( ) ( ) ( ) Escrevendo a equação da reta r na forma paramétrica: Da primeira equação obtemos: 10
11. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano Substituindo na segunda Substituindo em Admitindo ������ Informações: ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ) , ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | | ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ – Substituindo as coordenadas de R em π, na forma paramétrica: (I) (II) (III) Substituindo (I) e (III) em (II): Como a igualdade é verificada, então e r e π são paralelos e r está contida em π. (d) ������ Escrevendo a equação da reta r na forma paramétrica: Da primeira equação obtemos: Substituindo na primeira ( ) Substituindo em Admitindo 11
12. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano ������ Informações: ( ) ( ) ⃗ ( ) – Vetor normal ao plano π ⃗ ⃗ Substituindo as coordenadas de R na equação do plano π: A igualdade não é verificada, portanto e r não está contida em π. (e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Informações: ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ) , ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | | ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Igualando as coordenadas de r às de π: (I) (II) (III) Isolando de (II) e substituindo em (III) obtém-se o sistema Somando as duas equações obtém-se Substituindo o parâmetro encontrado na equação da reta r, encontra-se o ponto de intersecção P ( ) 12
13. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano (f) Informações: ( ) ( ) ⃗ ( ) – Vetor normal ao plano π ⃗ ⃗ Substituindo as coordenadas de R na equação do plano π: ( ) ( ) ( ) A igualdade não é verificada, portanto e r não está contida em π. 7. Calcule m para que r seja paralela a π: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Informações: ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ) Para que r seja paralela ao plano π, os vetores ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ devem ser coplanares, ou seja, linearmente dependentes. , ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | | 8. Sejam ( ) ( ) . Usando em cada caso a informação dada, obtenha condições sobre m e n. Informações: ( ) ⃗ ( ) ( ) (a) r e π são paralelos; Para que r e π sejam paralelos, os vetores e ⃗ devem ser ortogonais, ou seja ⃗ 13
14. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano e R não deve pertencer ao plano π, ou seja, √ Logo, r e π são paralelos se, e somente se, √ (b) r e π são transversais; Para que r seja transversal a π, basta que e ⃗ não sejam ortogonais, portanto, (c) r está contida em π; Para que r esteja contida em π, os vetores e ⃗ devem ser ortogonais, ou seja ⃗ e R deve pertencer ao plano π, ou seja, √ Logo, r está contida em π se, e somente se, √ . 9. Estude a posição relativa dos planos π1 e π2. (a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sendo ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ os vetores diretores de π1 e ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ de π2. Verificaremos se *⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ + é LD ou LI. A verificação também poderia ser feita no conjunto *⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ +. ,⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | | ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) Então, π1 e π2 são paralelos. ( ) pertence também à ? – Substituindo as coordenadas na equação de . (I) (II) (III) Da equação (I) obtemos . Substituindo em (II) e (III) encontra-se . Foram encontrados valores reais que satisfazem as três equações, portanto ( ) e os planos π1 e π2 são iguais. (b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sendo ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ os vetores diretores de π1 e ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ de π2. ,⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | | ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) 14
15. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano Então, π1 e π2 são transversais. (c) ⃗⃗⃗⃗ ( ) é o vetor normal a π1 e ⃗⃗⃗⃗ ( ) o vetor normal a π2. Observamos que um é múltiplo escalar do outro, logo, são paralelos. Então π1 e π2 são também paralelos. Fazendo na equação de π1 obtemos o ponto ( ), pertencente ao plano. Substituindo P na equação de π2, encontramos , então P não pertence à π2 e π1 e π2 são paralelos e distintos. (d) ( ) ( ) ( ) ⃗ ( ) é o vetor normal a π1 e ( )e⃗ ( ) são vetores diretores de π2. Se o vetor simultaneamente ortogonal a e⃗ ( ⃗ ) for paralelo à ⃗ , então os planos são paralelos. ⃗ ⃗ | | ( ) ⃗ e ⃗ são LI, portanto não são paralelos. Então π1 e π2 são transversais. 10. Calcule m para que os planos ( ) ( ) ( ) sejam paralelos e distintos, nos casos: e são paralelos se o vetor ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ e o vetor ⃗ ( ) forem LD. ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Obtemos o sistema (I) (II) Isolando de (I) e substituindo em (II),. A primeira solução não convém, pois tornaria o vetor ⃗ nulo, que não define plano algum. Portanto, e são paralelos se . 15
16. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano (a) Os planos são distintos se o ponto ( ) não pertencer a . Substituindo as coordenadas em obtemos , portanto e não existe tal que e sejam paralelos e distintos. (b) Os planos são distintos se o ponto ( ) não pertencer a . Substituindo as coordenadas em obtemos , portanto e e são paralelos e distintos quando . 11. Estude a posição relativa dos planos e ( ) ( ) ( ). e são paralelos se o vetor ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ e o vetor ⃗ ( ) forem LD. ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Obtemos o sistema (I) (II) (III) Pela equação (III) encontramos . Substituindo em (I) e (II) encontramos, respectivamente, e . Logo, inexiste que atenda simultaneamente às três equações. Então, os planos e são sempre transversais. 12. Obtenha uma equação geral do plano que contém o ponto ( ) e é paralelo ao plano de equação . O plano que queremos a equação é paralelo à , então seu vetor normal é ⃗ ( ). Logo, a equação é da forma . Mas, ( ) pertence ao plano. Substituindo os pontos na equação. A equação do plano é . 13. Dados ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ), obtenha uma equação vetorial de . Para o cálculo da intersecção entre dois planos, devemos igualar suas coordenadas. [os parâmetros e da equação de foram substituídos, respectivamente, por e para serem diferentes de ] 16
17. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano (I) (II) (III) Da eq. (II): Substituindo em (I): Substituindo e em (III): ( ) ( ) Substituindo os parâmetros acima na equação de , temos a reta com a seguinte equação paramétrica: Na forma vetorial: ( ) ( ) 14. Escreva uma equação vetorial da reta r concorrente com s, paralela ao plano π e perpendicular à reta AB. São dados: , ( ), ( ), ( ) ( ). ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ( ) ) ( ) Equação da reta ( ) ( ) Vetor normal do plano π: ⃗ ( ) Q é o ponto de intersecção entre r e s. É da forma ( ). P é o ponto de intersecção entre r e AB. É da forma ( ). ⃗⃗⃗⃗⃗ é paralelo à , vetor diretor de r, portanto ( ) ( ) ( ) ⃗ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( ) Mas, , então: 17
18. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano Substituindo e em ( ): Cálculo do vetor diretor: ( ) ( ) ( ) ( ) Cálculo do ponto : ( ) ( ) ( ) Logo, . / ( ). 15. Verifique se os planos e são perpendiculares. (a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sendo ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ os vetores diretores de e ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ os vetores diretores de . e são perpendiculares se *⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ + for LI, ou seja ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ,⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - | | *⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ + Os planos e não são perpendiculares. (b) Sendo ⃗⃗⃗⃗ ( ) o vetor normal ao plano e ⃗⃗⃗⃗ ( ) o vetor normal ao plano e são perpendiculares se ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , ou seja, se ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) Logo, e são perpendiculares. 16. Obtenha uma equação geral do plano que contém o ponto ( ) e é perpendicular aos planos e . Queremos a equação do plano , que é perpendicular à e . Logo, ⃗ , vetor normal de é simultaneamente ortogonal à ⃗⃗⃗⃗ , vetor normal de , e ⃗⃗⃗⃗ , vetor normal de . 18
19. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | | ⃗ ⃗ ⃗ ( ) ( ) Mas, ( ) , então: Logo, . 17. Obtenha as equações da reta perpendicular comum às retas r e s: (a) Escrevendo ambas as equações na forma paramétrica: ������ Para a reta s serão necessárias algumas manipulações. Somando o termo ( ) em todas as partes da igualdade, temos: Encontramos então um sistema de equações planares: (I) (II) Subtraindo (II) de (I) Substituindo em (II) ( ) Admitindo , um parâmetro real ������ A reta que desejamos encontrar a equação é perpendicular comum à r e s, então , onde é vetor diretor da reta. ⃗ | | ⃗ ⃗ ( ) Incompleta 19
20. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano (b) ( ) ( ) Rescrevendo a equação de s Informações: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cálculo do vetor diretor da reta ⃗ | | ⃗ ⃗ ( ) A intersecção entre r e s é um ponto pertencente à reta que desejamos equacionar. Igualando as coordenadas: Resolvendo o sistema encontra-se e . Substituindo na equação de r, encontramos o ponto ( ). Então ( ) ( ) 18. Dadas as retas ( ) ( ) e ( ) ( ), obtenha uma equação vetorial da reta t, concorrente com r e s e paralela a ⃗ ( ) A reta t é a intersecção de dois planos, e , sendo que: ⃗ ⃗ | | | | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20
21. Geometria Analítica Lista 5 Posições relativas entre reta e plano A equação da reta t na forma planar é ������ 21
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