Exercícios de Matemática
- EXERCÍCIOS NÚMEROS INTEIROS [COM RESPOSTAS].
- IDENTIDADE DE EULER - DEMONSTRAÇÃO.
- INTERPRETAÇÃO DE TEXTO - 230 QUESTÕES COM GABARITO.
Seqüência de Fibonacci - Aspectos Matemáticos: demonstração de algumas propriedades matemáticas relativas à sequência de Fibonacci.
SEQUÊNCIA DE FIBONACCI
ATIVIDADES MATEMATICA
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Seqüência de Fibonacci - Aspectos Matemáticos
1. ¨ˆ SEQUENCIA DE FIBONACCI Aspectos matem´ticos a Rodrigo Thiago Passos Silva rodrigotpsilva@gmail.com A seq¨ˆncia de Fibonacci ´ uma seq¨ˆncia de n´meros reais ue e ue u dada por 1, F (n) = Fn = 1, Fn−1 + Fn−2 num´rica, ou seja, uma fun¸˜o F : N → R e ca se n = 1 se n = 2 . se n ≥ 3 Em outras palavras, ´ uma seq¨ˆncia cujos dois primeiros termos s˜o iguais a 1 e os demais correspondem e ue a a ` soma dos dois anteriores. Os primeiros termos da seq¨ˆncia s˜o: ue a F1 = 1 F2 = 1 F3 = 2 F4 = 3 F5 = 5 F6 = 8 F7 = 13 F8 = 21. Observemos agora que F1 = 1 = F3 − 1 F1 + F2 = 2 = F4 − 1 F1 + F2 + F3 = 4 = F5 − 1 F1 + F2 + F3 + F4 = 7 = F6 − 1 F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 12 = F7 − 1. n Fi = Fn+2 − 1 . Portanto, conjecturemos que i=1 Demonstra¸˜o ca ´ a Utilizaremos o Princ´ ıpio da Indu¸ao Matem´tica. E f´cil observar que a propriedade conjecturada ´ c˜ a e 1 Fi = 1 e F1+2 − 1 = F3 − 1 = 2 − 1 = 1. v´lida para n = 1 pois a i=1 k Fi = Fk+2 − 1 queremos Supondo que a propriedade ´ v´lida para n = k, ou seja, que ´ verdade P (k) : e a e i=1 k+1 Fi = Fk+3 − 1 ´ v´lida. e a mostrar que P (k + 1) : i=1 Somando-se Fk+1 em ambos os lados da igualdade assumida como hip´tese temos o k Fi + Fk+1 = Fk+2 + Fk+1 − 1. i=1 k+1 O lado esquerdo equivale a Fi e, como o termo posterior na seq¨ˆncia de Fibonacci ´ dado pela soma ue e i=1 k+1 dos dois anteriores, o lado direito equivale a Fk+3 − 1. Assim, concluimos que Fi = Fk+3 − 1 como i=1 quer´ ıamos demonstrar. 1
2. Agora, observemos a soma dos termos da seq¨ˆncia de ´ ue ındice ´ ımpar n=1 n=2 n=3 F1 = 1 = F2 F1 + F3 = 3 = F4 F1 + F3 + F5 = 8 = F6 . n Conjecturemos, ent˜o, que a F2i−1 = F2n . i=1 Demonstra¸˜o ca 1 A propriedade conjecturada ´ v´lida para n = 1 pois e a F2i−1 = F1 = 1 e F2n = 1. i=1 k Supomos que ela ´ v´lida tamb´m para n = k, ou seja, que e a e F2i−1 = F2k ´ verdadeiro. Somando-se o e i=1 termo F2k+1 em ambos os lados da hip´tese indutiva obtemos o k F2i−1 + F2k+1 = F2k + F2k+1 . i=1 Ultilizando-se racioc´ ınio an´logo ao da demonstra¸ao anterior conclu´ a c˜ ımos que a igualdade acima ´ igual e a k+1 F2i−1 = F2k+2 = F2(k+1) . i=1 Da´ conclu´ ı ımos que se a propriedade ´ v´lida para n = k ´ tamb´m v´lida para n = k + 1. Portanto, pelo e a e e a princ´ ıpio da indu¸˜o matem´tica, ´ v´lida para todo n > 1. ca a e a Podemos observar tamb´m o comportamento da soma dos termos da seq¨ˆncia de ´ e ue ındice par n=1 n=2 n=3 F2 = 1 = F3 − 1 F2 + F4 = 4 = F5 − 1 F2 + F4 + F6 = 12 = F7 − 1. n F2i = F2n+1 − 1 . Logo, podemos conjecturar que i=1 Demonstra¸˜o ca Tomemos a soma dos termos da seq¨ˆncia de Fibonacci at´ o 2n-´simo termo. Temos ue e e 2n Fi = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 · · · + F2n−1 + F2n = F2n+2 − 1. i=1 Tomemos a soma dos termos ´ ımpares da seq¨ˆncia de Fibonacci at´ o termo de ´ ue e ındice 2n − 1 (i.e., os n primeiros ´ ımpares). Temos n F2i−1 = F1 + F3 + F5 + · · · + F2n−1 = F2n . i=1 2
3. Subtraindo a segunda equa¸˜o da primeira obtemos ca (F1 + F2 + F3 + F4 + F5 · · · + F2n−1 + F2n ) − (F1 + F3 + F5 + · · · + F2n−1 ) = (F2n+2 − 1) − F2n que ´ igual a e n F2i = F2 + F4 + · · · + F2n = F2n+1 − 1 i=1 pois F2n+2 = F2n+1 + F2n . Analogamente ` anterior, esta propriedade pode ser tamb´m demonstrada pelo Princ´ a e ıpio da Indu¸˜o ca Matem´tica. Deixo-a a cargo do leitor. a A pr´xima propriedade a ser demonstrada refere-se ` limita¸˜o superior de todos os termos da seq¨ˆncia o a ca ue n 7 em fun¸˜o de n. A propriedade afirma que Fn < ca . 4 Demonstra¸˜o ca 2 A propriedade ´ v´lida para n = 1 e n = 2 pois F1 = 1 < 7 e F2 = 1 < 7 = 49 . e a 4 4 16 Utilizemos ent˜o o “Princ´ a ıpio da Indu¸ao Forte”. Supomos que a propriedade ´ verdadeira para n ∈ c˜ e 7 k e Fk−1 < {1, 2, 3, · · · , k − 1, k}. Neste caso, utilizaremos (assumamos que ´ verdade) que Fk < e 4 7 k−1 para concluir que 4 Fk+1 = Fk + Fk−1 < 7 4 k + 7 4 k−1 = Isto n˜o prova a propriedade. Mas, como a Fk+1 < 11 4 7 4 7 4 7 4 k−1 11 49 < = 4 16 k−1 < 7 4 + 7 4 7 4 2 k−1 = 7 4 k−1 7 +1 4 = 11 4 7 4 k−1 . 2 ent˜o a 7 4 k−1 = 7 4 k+1 , como quer´ ıamos demonstrar. Por fim, demonstremos a f´rmula geral da seq¨ˆncia de Fibonacci, conhecida por F´rmula de Binet, que o ue o ´ dada por e √ n √ n 1 1+ 5 1 1− 5 Fn = √ −√ . 2 2 5 5 Demonstra¸˜o ca Para n = 1 temos √ √ 1+ 5 1 1− 5 −√ = 2 2 5 √ √ 1+ 5 1− 5 1 √ − = √ 5 = 1 = F1 . 2 2 5 1 √ 5 1 √ 5 Logo a propriedade ´ verdadeira para n = 1. Supondo que a propriedade ´ tamb´m v´lida para n ∈ e e e a {1, 2, 3, · · · , k − 1, k} queremos mostrar que ´ v´lida tamb´m para n = k + 1. Sabemos que, por hip´tese, e a e o 3
4. √ √ k √ k √ k−1 k−1 1 1 1 1 que Fk = √5 1+2 5 − √5 1−2 5 e Fk−1 = √5 1+2 5 − √5 1−2 5 . Sabemos tamb´m, pela e defini¸˜o da seq¨ˆncia de Fibonacci que Fk+1 = Fk + Fk−1 para k ≥ 2. Ent˜o, ca ue a Fk+1 = Fk + Fk−1 Fk+1 Fk+1 1 =√ 5 √ 1+ 5 2 1 =√ 5 √ 1+ 5 2 Fk+1 k Fk+1 √ 1+ 5 2 1 =√ 5 k √ 1+ 5 2 Fk+1 √ 1− 5 2 1 −√ 5 √ 1− 5 2 1 −√ 5 1 =√ 5 k 1 =√ 5 k k √ 1+ 5 2 1 +√ 5 √ 1+ 5 2 1 +√ 5 k k−1 √ 1+ 5 2 −1 1 −√ 5 1 −√ 5 2 √ 1+ 1+ 5 1 −√ 5 √ 1− 5 2 k √ 1+ 5 2 1 −√ 5 √ 1− 5 2 k 1 −√ 5 √ 1− 5 2 √ 1− 5 2 √ 1− 5 2 k−1 k √ 1− 5 2 −1 k+1 k √ 1+ 5 2 k+1 1+ 2 √ 1− 5 √ 1− 5 2 Logo, pelo “Princ´ ıpio da Indu¸ao Matem´tica Forte”, a propriedade ´ v´lida para todo n ≥ 1. c˜ a e a √ 1+ 5 O n´mero irracional ϕ = u ´ conhecido como raz˜o aurea ou n´mero de ouro. Utilizando este e a ´ u 2 n´mero, podemos reescrever a F´rmula de Binet. u o Observe que √ −1 √ 2 1− 5 1+ 5 −1 √ = . (−ϕ) = − =− 2 2 1+ 5 Logo, Fn = ϕn − (−ϕ)−n √ . 5 4
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