Exercícios de Matemática
Lista de exercícios de fixação - geometria analítica
ATIVIDADES MATEMATICA
📕 PRODUTO VETORIAL E PRODUTO MISTO PDF 📚
Lista de exercícios produto vetorial produto misto
1. PRODUTO VETORIAL 01) Dados os vetores u =( –1,3,2),v =(1,5,–2) e w =(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos vetores: a) u v b) v w c) v (u ) w d) (v u ) w e)(u +v ) f) (u – w )(u + w ) w RESP: a)(–16,0,8) b)(11,13,38) c)(64,–12,2) d)(24,72,48) e)(24,0,64) f)(–3,–13,18) 02)Determinar o vetor x =(2,–3,0) e tal que x , paralelo ao vetor ao vetor w u = v , onde u =(1,–1,0) e v =(0,0,2). RESP: x =(4.–6,0) 03) Determinar o vetor v , sabendo que ele é ortogonal ao vetor a =(2,3,1) e ao vetor b =(1,2,3) e que satisfaz a seguinte condição; 10 ) k 7 j 2 i ( v . RESP: 1, 5, 7v 04)Determinar v , tal que v seja ortogonal ao eixo dos y e que w v u ,sendo ) 1 , 1, 1( u e ) 1, 1 , 2( w . RESP: v =(1,0,1) =(–1,–1,0) e 2 v 05)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores 1 v =(0,–1–1). 1 RESP: 1, 1,1 3 =(3,0,1). Determine o vetor v 06) Dado o vetor 1 v =(x,y,z), sabendo-se que v é ortogonal ao eixo OX, que 1 v v 1 v = 14 6 , e que v =4. RESP: v (0, 6, 4) =(1,1,1) e v 07) Dados os vetores u =(2,3,4), calcular: e v a) A área do paralelogramo de determinado por u ; . b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u RESP: a)A= . a. u6 b) . c . u 2 h 08)Dados os vetores u =(2,1,1) e v =(1,1,), calcular o valor de para que a área do paralelogramo determinado por u e v seja igual a 62 u.a.(unidades de área). RESP: =3 09) A área de um triângulo ABC é igual a 6 . Sabe-se que A(2,1,0), B(–1,2,1) e que o vértice C pertence ao eixo OY. Calcule as coordenadas de C. 1 RESP: (0,3,0) ou 0 , 5 0,
2. 10)Os vértices de um triângulo ABC são os pontos A (0,1,1), B(2,0,1) e C(1,2,0). Determine a altura 3 35 relativa ao lado BC. RESP: u.c. 7 h 11) Calcule a distância do ponto P(–2,1,2) à reta determinada pelos pontos M(1,2,1) e N(0,–1,3). RESP: d= 3 35 7 u.c. (calcule a área do triângulo MNP; a distância entre o ponto P e a reta será a altura) PRODUTO MISTO 01) Qual é o valor de x para que os vetores a =(3,–x,–2), b =(3,2,x) e c =(1,–3,1) sejam coplanares. RESP: x=14 ou x=–2 02) Determinar o valor de k para que os pontos A(0,0,3),B(1,2,0), C(5,–1,–1) e D(2,2,k) sejam vértices de uma mesma face de um poliedro. RESP: k=– 1 = 2 i 03) Determinar o valor de x de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores u – j e +k = i v – j e w + j =x i , seja unitário. RESP: x=–5 ou x= –3 –3k =(1,1,0), v 04) Sejam os vetores u . Determinar o =(2,0,1) e w1 3u 2v , w2 u 3v e w3 i j 2k volume do paralelepípedo definido por 1 w , 2 w e 3 w . RESP: V=44 u.v. 05) Dado um tetraedro de volume 5 e de vértices A (2,1,–1), B(3,0,1) e C(2,–1,3). Calcular as coordenadas do quarto vértice D, sabendo-se que se acha sobre o eixo OY. RESP: D (0,–7,0) ou D(0,8,0) 06) São dados os pontos A(1, –2,3), B(2, –1, –4), C(0,2,0) e D(–1,m,1), calcular o valor de m para que seja de 20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AC , AB e AD . RESP: m=6 ou m=2 =(1,1,0), v 07) Sendo u =(2,1,3) e w =(0,2,–1). Calcular a área do triângulo ABC e o volume do tetraedro ABCD, onde B=A+u . C=A+v e D=A+ w . 19 RESP: S= ua 2 5 ,V= uv 6 08) Determine a altura do tetraedro ABCD, onde A(1,3,1), B(0,2,4) ,C(2,1,3) e D(0,6,0). 4 6 RESP: u.c. 11 h 09)Determine a distância do ponto D(2,3,3) ao plano determinado pelos pontos A(3,3,1) , B(1,1,–3) e C(–1,– 3,0). RESP: 5 174 58 u.c.
3. 10) Os vértices de um tetraedro são M (0,3,4), N(1,2,2) e Q(2,–1,2) e P é um ponto pertencente ao eixo coordenado OZ. Calcule: a)as coordenadas do ponto P de modo que o tetraedro MNPQ tenha volume igual a 1 uv; b)a área e o perímetro da face NMQ; c)calcule a altura do tetraedro MNPQ, relativa à face MNQ. RESP: a)P(0,0,0) ou P(0,0,2) b)S= 33 u.a., 2p= 12 3 6 3 u.c. c) 1 3 3 u.c. , A O 11) São dados no espaço os pontos A(2,–1,0), B(1,–2,1) e C(1,0,2), determine o ponto D, tal que D O e OA OB sejam coplanares, OD OC OB = –28 e que o volume do tetraedro OABD seja igual a 14. RESP: D(0,0,–28) ou D(12,24,8)
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