Há 3000 antes de Cristo, os geômetras dos faraós do Egito realizavam marcação das terras que ficavam às margens do rio Nilo, para a sua população.
Mas, no período de junho a setembro, o rio inundava essas terras levando
parte de suas marcações. Logo os proprietários das terras tinham que marcá-las novamente e para isso, eles utilizavam uma marcação com cordas, que seria uma espécie de medida, denominada estiradores de cordas.
As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida dava correta no terreno, isto é, não cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de criar um novo tipo de número - o número fracionário, onde eles utilizavam as frações.
ATIVIDADES MATEMATICA
📕 Frações Racionais 📚
2 Introdução ao conceito de fração
Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como por exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes que não são do mesmo tamanho.
Figura 1: O fracionamento de uma pizza
Logo isso daria uma grande confusão, pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? É lógico que alguém sairia no prejuízo.
Pensemos neste exemplo: Dois irmãos foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais, uma para cada um. Iam começar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão:
Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do
chocolate para a amiga.
1. Você concorda com esta divisão? Por quê?
2. Como você poderia resolver esta situação para que todos comessem
partes iguais?
3. O que você acha desta frase: Quem parte e reparte e não fica com a
melhor parte, ou é bobo ou não tem arte.
3 Elementos gerais para a construção de frações
Para representar os elementos que não são tomados como partes inteiras de
alguma coisa, utilizamos o objeto matemático denominado fração.
O conjunto dos números naturais, algumas vezes inclui o zero e outras vezes
não, tendo em vista que zero foi um número criado para dar significado nulo
a algo. Nesse momento o conjunto N será representado por:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}
Logo, todos os números naturais representam partes inteiras.
Os números que não representam partes inteiras, mas que são partes de inteiros, constituem os números racionais não-negativos, aqui representados
por Q+, onde esta letra Q significa quociente ou divisão de dois números
inteiros naturais.
Q+ = {0,..., 1/4,..., 1/2,..., 1,..., 2,...}
Numeral: Relativo a número ou indicativo de número.
Número: Palavra ou símbolo que expressa quantidade.
4 Definição de fração
Os numerais que representam números racionais não-negativos são chamados frações e os números inteiros utilizados na fração são chamados numerador e denominador, separados por uma linha horizontal ou traço de fração. Numerador Denominador onde Numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito sobre o traço de fração e Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este número inteiro deve necessariamente ser diferente de zero. Observação: A linguagem HTML (para construir páginas da Web) não proporciona ainda um método simples para a implementar a barra de fração, razão pela qual, às vezes usaremos a barra / ou mesmo o sinal ÷, para entender a divisão de dois números. Exemplo: Consideremos a fração 1/4, que pode ser escrita como: 1 4 Em linguagem matemática, as fracões podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou mesmo como 1/4, considerada mais comum. Figura 2: Frações múltiplas de um quarto A unidade foi dividida em quatro partes iguais. A fração pode ser visualizada através da figura anexada, sendo que foi sombreada uma dessas partes. 5 Leitura de frações 5.1 O numerador é 1 e o denominador é um inteiro 1 < d < 10 A leitura de uma fração da forma 1/d, onde d é o denominador que é menor do que 10 é feita como:
5.2 O numerador é 1 e o denominador é um inteiro d > 10 4
1/2 um meio
1/3 um terço
1/4 um quarto
1/5 um quinto
1/6 um sexto
1/7 um sétimo
1/8 um oitavo
1/9 um nono
5.2 O numerador é 1 e o denominador é um inteiro d > 10
Quando a fração for da forma 1/d, com d maior do que 10, lemos: 1, o
denominador e acrescentamos a palavra avos.
Avos é um substantivo masculino usado na leitura das frações, designa cada
uma das partes iguais em que foi dividida a unidade e se cujo denominador
é maior do que dez.
Fração Leitura
1/11 um onze avos
1/12 um doze avos
1/13 um treze avos
1/14 um quatorze avos
1/15 um quinze avos
1/16 um dezesseis avos
1/17 um dezessete avos
1/18 um dezoito avos
1/19 um dezenove avos
5.3 O numerador é 1 e o denominador é um múltiplo de 10
Se o denominador for múltiplo de 10, lemos:
Seção 6 Tipos de frações 5
Fração Leitura Leitura Comum
1/10 um dez avos um décimo
1/20 um vinte avos um vigésimo
1/30 um trinta avos um trigésimo
1/40 um quarenta avos um quadragésimo
1/50 um cinqüenta avos um qüinquagésimo
1/60 um sessenta avos um sexagésimo
1/70 um setenta avos um septuagésimo
1/80 um oitenta avos um octogésimo
1/90 um noventa avos um nonagésimo
1/100 um cem avos um centésimo
1/1000 um mil avos um milésimo
1/10000 um dez mil avos um décimo milésimo
1/100000 um cem mil avos um centésimo milésimo
1/1000000 um milhão avos um milionésimo
Observação: A fração 1/3597 pode ser lida como: um, três mil quinhentos e
noventa e sete avos.
6 Tipos de frações
A representação gráfica mostra a fração 3/4 que é uma fração cujo numerador é um número natural menor do que o denominador.
Figura 3: Três quartos
A fração cujo numerador é menor que o denominador, isto é, a parte
é tomada dentro do inteiro, é chamada fração própria. A fração cujo
Seção 7 Propriedades fundamentais 6
numerador é maior do que o denominador, isto é, representa mais do que
um inteiro dividido em partes iguais é chamada fração imprópria.
Figura 4: 3/3 + 2/3 = 5/3
Fração aparente: é aquela cujo numerador é um múltiplo do denominador
e aparenta ser uma fração mas não é, pois representa um número inteiro.
Como um caso particular, o zero é múltiplo de todo número inteiro, assim
as frações 0/3, 0/8, 0/15 são aparentes, pois representam o número inteiro
zero.
Frações Equivalentes: São as que representam a mesma parte do inteiro.
Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração
sucessivamente pelos números naturais, teremos um conjunto infinito de
frações que constitui um conjunto que é conhecido como a classe de
equivalência da fração dada.
Figura 5: Equivalência com a fração 1/2
7 Propriedades fundamentais
1. (1) Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma
fração por um mesmo número natural, obteremos uma fração equivalente à fração dada:
Seção 8 A fração como uma classe de equivalência 7
2. (2) Se é possível dividir os termos (numerador e denominador) de
uma fração por um mesmo número natural, obteremos uma fração
equivalente à fração dada:
8 A fração como uma classe de equivalência
A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações
equivalentes à fração dada. Ao invés de trabalhar com todos os elementos
deste conjunto infinito, simplesmente poderemos tomar a fração mais simples deste conjunto que será a representante desta classe. Esta fração será
denominada um número racional. Aplicando a propriedade fundamental,
podemos escrever o conjunto das frações equivalentes a 1/3, como:
C(1/3) = {1/3, 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, 6/18,...}
9 Número Misto
Quando o numerador de uma fração é maior que o denominador, podemos
realizar uma operação de decomposição desta fração em uma parte inteira
e uma parte fracionária e o resultado é denominado número misto.
Transformação de uma fração imprópria em um número misto:
Transformação de um número misto em uma fração imprópria:
10 Simplificação de Frações
Simplificar frações é o mesmo que escrevê-la em uma forma mais simples,
para que a mesma se torne mais fácil de ser manipulada.
Seção 11 Comparação de duas frações 8
O objetivo de simplificar uma fração é torná-la uma fração irredutível, isto
é, uma fração para a qual o Máximo Divisor Comum entre o Numerador e
o Denominador seja 1, ou seja, o Numerador e o Denominador devem ser
primos entre si. Essa simplificação pode ser feita através dos processos de
divisão sucessiva e pela fatoração.
A divisão sucessiva corresponde a dividir os dois termos da fração por um
mesmo número (fator comum ) até que ela se torne irredutível.
Respectivamente, dividimos os termos das frações por 2, 2 e 3.
Observação: Outra maneira de divisão das frações é obter o Máximo Divisor
Comum entre o Numerador e o Denominador e simplificar a fração diretamente por esse valor.
Exemplo: Simplificaremos a fração 54/72, usando o Máximo Divisor Comum. Como MDC(54, 72) = 18, então 54 : 18 = 3 e 72 : 18 = 4, logo:
11 Comparação de duas frações
11.1 Por redução ao mesmo denominador
Se duas frações possuem denominadores iguais, a maior fração é a que
possui maior numerador. Por exemplo:
11.2 Os numeradores e denominadores das frações são diferentes
Devemos reduzir ambas as frações a um denominador comum e o processo
depende do cálculo do Mínimo Múltiplo Comum entre os dois denominadores e este será o denominador comum às duas frações. Na sequência, divide-se o denominador comum pelo denominador de cada fração e multiplica-se o resultado obtido pelo respectivo numerador.
11.3 As frações possuem um mesmo numerador 9
Exemplo: Vamos comparar as frações 2/3 e 3/5. Como os denominadores
são 3 e 5, temos que MMC(3,5)=15. Reduzindo ambas as frações ao mesmo
denominador comum 15, aplica-se a regra de dividir o denominador comum
pelo denominador de cada fração e na seqüência multiplica-se esse respectivo número pelo numerador.
Multiplicando os termos da primeira fração por 5 e multiplicando os termos
da segunda fração por 3, obteremos:
Temos então os mesmos denominadores, logo:
e podemos garantir que
11.3 As frações possuem um mesmo numerador
Se os numeradores de duas frações forem iguais, será maior a fração cujo
denominador for menor.
Exemplo: Uma representação gráfica para a desigualdade
pode ser dada geometricamente por:
3/4 = 6/8
Figura 6: Equivalência entre 3/4 e 6/8
Observe que a área amarelada é maior na primeira figura.
Seção 12 Divisão de frações 10
12 Divisão de frações
Consideremos inicialmente uma divisão D de duas frações, denotada por:
Um modo fácil para explicar esta divisão é tomar as duas frações com
o mesmo denominador e realizar a divisão do primeiro numerador pelo
segundo numerador, isto é:
pois 1/2 equivale a 3/6 e 2/3 equivale a 4/6. O desenho abaixo mostra as
frações 1/2 e 2/3, através de suas respectivas frações equivalentes: 3/6 e 4/6.
Realizar a divisão entre dois números fracionários ou não A e B, é o mesmo
que procurar saber quantas partes de B estão ocupadas por A. Quantas
partes da fração 4/6 estão ocupadas pela fração 3/6?
No desenho, os numeradores das frações estão em cor amarela. Como temos
3 partes em amarelo na primeira fração e 4 partes em amarelo na segunda
fração, a divisão corresponde à fração 3/4, ou seja, em cada 4 partes amarelas,
3 estão ocupadas.
Este argumento justifica a divisão de duas frações pela multiplicação da
primeira fração pelo inverso da segunda fração e observamos que de fato
isto funciona neste caso:
Nenhum comentário:
Postar um comentário