- AS MIL E UMA EQUAÇÕES: EQUAÇÕES DE SEGUNDO GRAU.
- FIGURAS NO PLANO EXERCÍCIOS.
- ESTUDAR MATEMÁTICA — DICAS DE COMO ORIENTAR SEUS ESTUDOS.
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia.
São Paulo
Apostila mb cefet
Apostila de Matemática Básica
Campus Sertãozinho
Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior
APOSTILA MATEMÁTICA BÁSICA
Este material serve como introdução aos conceitos matemáticos,adequando-se às necessidades dos alunos do CEFET/ SP, UNED de Sertãozinho.
Este material tem por objetivo oferecer subsídios e conhecimento básicos aos alunos que deles necessitam, a modo de proporcionar aos discentes a base matemática para prosseguir em seus estudos.
O material contém as definições matemáticas de uma maneira clara e objetiva, exemplos e uma série de exercícios de fixação.
Aluno: _____________________
Curso: _____________________ Turma: ________
ÍNDICE GERAL
I. Conjuntos numéricos 2
II. As quatro operações fundamentais (números decimais) e Expressões 2
III. Frações Ordinárias 9
IV. Potências 13
V. Operações algébricas 20
VI. Equações do 1º grau 23
VII. Equações do 2º grau 28
VIII. Inequações do 1º grau 30
IX. Proporcionalidade 31
X. Juros 38
XI. Relações Trigonométricas 41
XII. Plano Cartesiano (seu produto, relações e funções) 44
XIII. Noções de Geometria Plana e Espacial 48
Exemplos:
Números decimais na forma exata: {1,2 ; 3,654 ; 0,00005 ; 105,27272};
Números decimais na forma periódica:
2,333333 = 2,3 3,0222 = 3,02 10,232323 = 10,23
I - Irracionais
São todas as decimais não exatas e não periódicas.
R - Reais
É a união dos conjuntos numéricos citados acima. Portanto, todo número, seja N, Z, Q ou I é um número R (real).
As raízes em que o radicando seja negativo e o índice par não são reais.
II - AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS (NÚMEROS DECIMAIS)
1) Adição
Na adição os números são chamados de parcelas, sendo a operação aditiva, e o resultado é a soma.
2 + 2 = 4
Parcelas adição Soma
Exemplos:
4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049
Observe que as parcelas são dispostas de modo que se tenha vírgula sobre vírgula.
2) Subtração
Na subtração os números são chamados de subtraendo, sendo a
operação a subtração, e o resultado é o minuendo.
3 – 2 = 1
Minuendo Subtraendo diferença
Exemplos: As regras para a subtração são as mesmas da adição, portanto podemos utilizar os mesmos exemplos apenas alterando a operação. Numa subtração do tipo 4-7 temos que o minuendo é menor que o subtraendo; sendo assim a diferença será negativa e igual a -3.
3) Multiplicação
Na multiplicação os números são chamados de fatores, sendo a operação multiplicativa, e o resultado é o produto.
22 * 3 = 66
Fatores Multiplicação Produto
Pode-se representar a multiplicação por: *, x ou .
Exemplo:
6) Exercícios
1º Passo: Enumera-los
O material contém as definições matemáticas de uma maneira clara e objetiva, exemplos e uma série de exercícios de fixação.
Aluno: _____________________
Curso: _____________________ Turma: ________
I. Conjuntos numéricos 2
II. As quatro operações fundamentais (números decimais) e Expressões 2
III. Frações Ordinárias 9
IV. Potências 13
V. Operações algébricas 20
VI. Equações do 1º grau 23
VII. Equações do 2º grau 28
VIII. Inequações do 1º grau 30
IX. Proporcionalidade 31
X. Juros 38
XI. Relações Trigonométricas 41
XII. Plano Cartesiano (seu produto, relações e funções) 44
XIII. Noções de Geometria Plana e Espacial 48
I - CONJUNTOS NUMÉRICOS
Esta figura representa a classe dos números.
Veja a seguir:
N - Naturais
São os números positivos inclusive o zero, que representem uma contagem inteira.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Não há números naturais negativos.
Z - Inteiros
São os números naturais e seus opostos – negativos.
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Não há números inteiros em fração ou decimal.
Q - Racionais
São todos os números na forma decimal exata, periódica ou na forma de fração
Exemplos:
Números decimais na forma exata: {1,2 ; 3,654 ; 0,00005 ; 105,27272};
Números decimais na forma periódica:
2,333333 = 2,3 3,0222 = 3,02 10,232323 = 10,23
I - Irracionais
São todas as decimais não exatas e não periódicas.
R - Reais
É a união dos conjuntos numéricos citados acima. Portanto, todo número, seja N, Z, Q ou I é um número R (real).
As raízes em que o radicando seja negativo e o índice par não são reais.
1) Adição
Na adição os números são chamados de parcelas, sendo a operação aditiva, e o resultado é a soma.
2 + 2 = 4
Parcelas adição Soma
Exemplos:
4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049
Observe que as parcelas são dispostas de modo que se tenha vírgula sobre vírgula.
2) Subtração
Na subtração os números são chamados de subtraendo, sendo a
operação a subtração, e o resultado é o minuendo.
3 – 2 = 1
Minuendo Subtraendo diferença
Exemplos: As regras para a subtração são as mesmas da adição, portanto podemos utilizar os mesmos exemplos apenas alterando a operação. Numa subtração do tipo 4-7 temos que o minuendo é menor que o subtraendo; sendo assim a diferença será negativa e igual a -3.
3) Multiplicação
Na multiplicação os números são chamados de fatores, sendo a operação multiplicativa, e o resultado é o produto.
22 * 3 = 66
Fatores Multiplicação Produto
Pode-se representar a multiplicação por: *, x ou .
Exemplo:
7,32 * 12,5 = 91,500
Na multiplicação começa-se operar da esquerda para a direita. Quando a multiplicação envolver números decimais (como no exemplo ao lado), soma-se a quantidade de casas após a vírgula.
Na multiplicação de frações multiplica-se divisor com divisor, dividendo com dividendo (ou simplesmente, o de cima pelo de cima e o de baixo pelo de baixo).
4) Divisão
Na divisão, os números são chamados de dividendo( a parte que está sendo dividida) e divisor (a quantia de vezes que esta parte está sendo dividida), a operação é a divisão, e o resultado é o quociente.
7 / 4 = 1,75
Dividendo (D) Divisor (d) Quociente (q)
Exemplo:
Existe na divisão, o que se pode chamar de resto. Isto é, quando uma divisão não é exata irá sempre sobrar um determinado valor, veja no exemplo a seguir:
843 / 5 = 168
34
43
3 - resto (r)
Para verificar se o resultado é verdadeiro basta substituir os valores na seguinte fórmula:
D = d * q + r
843 = 5 * 168 + 3
Se o resto for igual a zero a divisão é chamada exata.
5) Casos particulares da multiplicação e divisão
Multiplicação
N * 1 = N
N * 0 = 0
Divisão
N / 1 = N
N / N = 1
0 / N = 0 (N ≠ 0 )
N / 0 = Não existe!!!!
a) 2,31 + 4,08 + 3,2 =
b) 4,03 + 200 + 51,2 =
c) 32,4 – 21,3 =
d) 48 – 33,45 =
e) 2,1 * 3,2 =
f) 48,2 * 0,031 =
g) 3,21 * 2,003 =
h) 8,4708 / 3,62 =
i) 682,29 / 0,513 =
j) 2803,5 / 4450 =
k) (FUVEST) 0,2 * 0,3 / 3,2 − 2,0 =
l) 0,041 * 21,32 * 401,05 ≅
m) 0,0281 / 0,432 ≅
n) 2,31* 4,82 / 5,1 ≅
o) 0,021* 4,32 / 0,285 ≅
7) Valor absoluto ou Módulo
Representa a distância de um número até o zero (ou origem). Sendo assim, o módulo, por representar distância, é sempre positivo e representado por | |.
Exemplos:
| -9| = 9
| -2| = 2
| 0| = 0
| 7| =
8) Soma e subtração algébrica
Sinais iguais: Somam-se os valores absolutos e dá-se o sinal comum.
Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e dá-se o sinal do maior.
Exemplos:
a) 2 + 4 = 6
b) – 2 – 4 = – 6
c) 5 – 3 = 2
d) – 5 + 3 = – 2
e) 2 + 3 – 1 – 2 = 5 – 3 = 2
f) – 1 – 3 + 2 – 4 + 21 – 5 – 32 = 23 – 45 = – 22
9) Multiplicação e divisão algébrica
Sinais iguais - resposta positiva
Sinais diferentes - resposta negativa
Isto é:
(+ ) * (+ ) = (+ )
(− ) * (− ) = (+ )
(+ ) * (− ) = (− )
(− ) * (+ ) = (− )
(+ ) : (+ ) = (+ )
(− ) : (− ) = (+ )
(+ ) : (− ) = (− )
(− ) : (+ ) = (− )
Exemplos:
a) 12 * 3 = 36
b) (-12) * (-3) = 36
c) 2 * (-2) = -4
d) (-2) * 3 = -6
e) 4/2 = 2
f) 20/(-5) = -4
g) (-20)/(-5) = 4
h) (-20)/5 = -4
10) Expressões numéricas
Para resolver expressões numéricas realizamos primeiro as operações de multiplicação e divisão, na ordem em que estas estiverem indicadas, e depois adições e subtrações. Em expressões que aparecem sinais de reunião: ( ): parênteses, [ ]: colchetes e { }: chaves, efetuam-se as operações eliminando-se, na ordem: parênteses, colchetes e chaves, isto é, dos sinais interiores para os exteriores. Quando à frente do sinal da reunião eliminado estiver o sinal negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos.
Exemplo:
a) 2 + [ 2 – ( 3 + 2 ) – 1 ] = 2 + [ 2 – 5 – 1 ] = 2 + [ 2 – 6 ]
b) 2 + { 3 – [ 1 + ( 2 – 5 + 4 ) ] + 8 } = 11
c) { 2 – [ 3 * 4 : 2 – 2 ( 3 – 1 ) ] } + 1 = { 2 – [ 12 : 2 – 2 *
2 ] } + 1 = { 2 – [ 6 – 4] } + 1
11) Números Primos
São aqueles números divisíveis somente por eles mesmos e por 1.
Obs.: O número 1, por definição, não é primo.
Método para obtenção de números primos
Faremos isso através de um exemplo:
Encontre os números primos compreendidos entre 1 e 50.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
2º Passo: Encontrar a raiz quadrada do maior número quadrado dentre os indicados, ou seja, encontrar o maior número que se conheça a raiz quadrada exata.
No caso, 49 = 7 .
3º Passo: Extrair da lista acima os números múltiplos dos números {2, 3, 4, 5, 6, 7}, nesta ordem, onde o 7 provém do 2º passo.
4º Passo: Os números que sobraram são os números primos procurados:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}.
Obs.: O número 2 é o único número primo e par.
12) Decomposição de um número em um produto de fatores primos
A decomposição de um número em um produto de fatores primos é feita por meio do dispositivo prático que será mostrado nos exemplos a seguir.
Exemplos:
OBS: Número primo é aquele divisível somente por ele mesmo e pelo número 1.
13) Mínimo múltiplo comum (m.m.c.)
O mínimo múltiplo comum a vários números é o menor número divisível por todos eles.
Exemplo:
a) Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45
O m.m.c. entre 12, 16 e 45 é 720
Confirme os resultados abaixo.
b) m.m.c. (4, 3) = 12
c) m.m.c. (3, 5, 8) = 120
d) m.m.c. (8, 4) = 8
e) m.m.c. (60, 15, 20, 12) = 60
14)Máximo Divisor Comum (m.d.c.)
O m.d.c. a vários números é o maior número que os divide.
Exemplo: Encontrar o m.d.c. entre 12, 18 e 36.
Fatorando cada um dos números em fatores primos, temos:
12 = 2².3
18 = 2.3²
36 = 2².3²
Agora tomemos as menores potências dos fatores em comum apresentados acima:
m.d.c.(12, 18, 36) = 2.3 = 6.
Quando o m.d.c. entre dois números é igual a 1, dizemos que eles são relativamente primos.
Exemplo: 5 e 9 são relativamente primos, pois 5 = 5.1 e 9 = 3².1.
Sendo 1 o único fator comum a estes números.
Confirme os resultados abaixo:
b) m.m.c. (9, 6) = 3
c) m.m.c. (36, 45) = 9
d) m.m.c. (12, 64) = 4
e) m.m.c. (20, 35, 45) = 5
15) Exercícios:
a) 2 + 3 – 1 =
b) – 2 – 5 + 8 =
c) – 1 – 3 – 8 + 2 – 5 =
d) 2 * (-3) =
e) (-2) * (-5) =
f) (-10) * (-1) =
g) (-1) * (-1) * (-2) =
n) 2{ 2 - 2[ 2 - 4 ( 3* 2:3 ) + 2 ]} + 1 =
o) 8 -{ - 20[ ( - 3 + 3 ):( - 58 )] + 2 ( - 5 ) } =
p) 0,5 * 0,4 : 0,2 =
q) 0,6 : 0,03 * 0,05 =
r) 5 : 10 =
s) 3 : 81 * 0,5 =
t) Calcule o m.m.c. e o m.d.c. entre:
a. 36 e 60
b. 18, 20 e 30
c. 12, 18 e 32
IV - FRAÇÕES ORDINÁRIAS
Definição: Fração é um quociente indicado onde o dividendo é o numerador e o divisor é o denominador.
As frações que serão apresentadas a seguir, partem de um círculo inteiro que ao ser dividido em partes iguais formam as frações
A fração é própria quando o numerador é menor do que o denominador: 1/2, 3/5, 120/210, etc.
A fração e imprópria quando o numerador é maior que o denominador, sendo possível representá-la por um número misto e reciprocamente.
Exemplos:
16) Propriedade
Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um número diferente de zero obtém-se uma fração equivalente à inicial.
Exemplos:
17) Soma algébrica de frações
Reduzem-se ao menor denominador comum e somam-se algebricamente os numeradores.
OBS: O menor denominador comum é o m.m.c. dos denominadores.
Exemplos:
18) Multiplicação de frações
Multiplicam-se os numeradores entre si, da mesma maneira se faz com os denominadores.
Exemplos:
19) Divisão de frações
Multiplica-se a fração dividenda pelo inverso da fração divisora.
Exemplos:
20) Comparação de Frações
Para comparar as frações devemos reduzi-las ao mesmo denominador e comparar os numeradores, a qual tiver o numerados maior será a maior fração.
OBS.:
a < b lê-se “a é menor do que b”
a > b lê-se “a é maior do que b”
Para isto, calculamos o m.m.c. entre 7 e 3:
m.m.c.(3, 7) = 21.
Então, ao transformar os denominadores em 21, devemos multiplicar os numeradores pelo fatores de transformações.
Como 18 é maior que 14, podemos afirmar que:
O fator de transformação da fração é 3 pois 3*7 = 21, e o da fração é 7, pois 3*7 = 21.
21) Exercícios
Simplifique as frações, ou coloque-as na forma irredutível:
Comparar as frações:
Resolva:
Simplifique:
V - POTÊNCIAS
Definição: Potência de grau n de um número A é o produto de n fatores iguais a A.
An= A∗A∗.. .∗A
nvezes
A é a base da potência e n é o expoente da potência, que determina seu grau.
Assim:
2³ = 2 * 2 * 2 = 8 ∴ 2³ = 8
(- 1)4 = (- 1) * (- 1) * (- 1) * (- 1) = 1 ∴ (- 1)4 = 1
CASOS PARTICULARES:
a) A potência de expoente 1 (1º grau) é igual à base:
A1 = A; 21 = 2
b) Toda potência de 1 é igual a 1:
1² = 1; 1³ = 1
c) Toda potência de 0 é igual a 0:
0² = 0; 0³ = 0
d) Toda potência de expoente par é positiva:
(- 2)4 = 16; 24 = 16; (- 3)² = 9; 3² = 9
e) Toda potência de expoente ímpar tem o sinal da base:
3³ = 27 ; (- 3)³ = - 27
25 = 32 ; (- 2)5 = - 32
22) Multiplicação de potências de mesma base
Mantém-se a base comum e soma-se os expoentes.
23) Divisão de potências de mesma base
Mantém-se a base comum e diminuem-se os expoentes
24) Multiplicação de potências de mesmo grau (semelhantes)
Multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente comum.
25) Divisão de potências de mesmo grau (semelhantes)
Dividem-se as bases e conserva-se o expoente comum.
26) Potenciação de potência
Eleva-se a base ao produto dos expoentes.
27) Expoente nulo
Toda potência de base diferente de zero e expoente zero é igual a unidade.
28) Expoente negativo
Qualquer número diferente de zero, elevado a expoente negativo é igual a uma fração cujo numerador é a unidade e cujo denominador é a mesma base da potência elevada ao mesmo expoente com o sinal positivo.
29) Potências de 10
Efetuam-se as potências de 10 escrevendo à direita da unidade tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.
30) Números decimais
Todo número decimal equivalente a um produto do qual um fator é o número escrito como inteiro, e outro é uma potência de dez com expoente negativo, com tantas unidades no expoente quantas são as ordens decimais.
Exemplos:
a) 0,001 = 10-3
b) 0,002 = 2 * 10-3
c) 0,00008 = 8 * 10-5
d) 1,255 = 1255 * 10-3
e) 2 * 10-3 = 0,002
31) Exercícios
a) 1³ =
b) 04 =
c) (- 2)³ =
d) (- 4)³ =
e) (- 2)4 =
f) (- 4)4 =
g) 2³ * 25 =
h) 3² * 3 * 35 =
i) 35 : 34 =
Exprimir, utilizando potências de 10:
a) 20 000 =
b) 4 800 000 =
c) 0,01 =
d) 0,000045 =
Efetuar, utilizando potência de 10:
RADICAIS
Definição: Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de A, ao número ou expressão que, elevado à potência n reproduz A.
OBS: Representa-se a raiz pelo símbolo √
Assim:
a) √16 = 4 porque 4² = 16
b) 3√ 8 = 2 porque 2³ = 8
c) 4√81= 3 = porque 34 = 81
32) Propriedade
É possível retirar um fator do radical, bastante que se divida o expoente do radicando pelo índice do radical.
Exemplos:
Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplica-se o expoente do fator pelo índice do radical. Assim:
33) Adição e subtração de radicais semelhantes
Radicais de mesmo índice e mesmo radicando são semelhantes. Na adição e subtração de radicais semelhantes, operam-se os coeficientes e conserva-se o radical.
Exemplos:
34) Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice
Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e dá-se ao produto (quociente) o índice comum.
35) Potenciação de radicais
Eleva-se o radicando à potência indicada e conserva-se o índice.
Exemplo:
36) Radiciação de radicais
Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando.
Exemplos:
37) Expoente fracionário
Uma potência com expoente fracionário pode ser convertida numa raiz, cujo radicando é a base, o índice é o denominador do expoente, sendo o numerador o expoente do radicando.
Exemplos:
38) Racionalização de denominadores
1º Caso: O denominador é um radical do 2º grau. Neste caso multiplica-se pelo próprio radical o numerador e o denominador da fração.
Exemplo:
2º Caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois termos em que um deles, ou ambos, são radicais do 2º grau. Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador.
OBS: A expressão conjugada de a + b é a – b.
Na racionalização aparecerá no denominador um produto do tipo:
(a + b) * (a – b) = a² - b²
Assim:
(5 + 3) * (5 – 3) = 5² - 3² = 25 – 9 = 16
39) Exercícios
Efetuar:
Dar a resposta sob forma de radical, das expressões seguintes:
Racionalizar o denominador das frações seguintes:
Simplifique:
VII – OPERAÇÕES ALGÉBRICAS
40) Expressões algébricas
São indicações de operações envolvendo letras ou letras e números.
Exemplos:
a) 5ax – 4b
b) ax² + bx + c
c) 7a²b
OBS: No exemplo 3, onde não aparece indicação de soma ou de diferença, temos um monômio em que 7 é o coeficiente numérico e a²b é a parte literal.
41) Operações com expressões algébricas
1. Soma algébrica
Somente é possível somar ou subtrair termos semelhantes (monômios que possuem a mesma parte literal). Para somar ou subtrair termos semelhantes (reduzir termos semelhantes) repete-se a parte literal e opera-se com os coeficientes.
Exemplo:
3x²y – 4xy² + 7xy² + 5x²y = 8x²y + 3xy²
2. Multiplicação
Multiplica-se cada termo do primeiro fator por todos os termos do segundo fator e reproduzem-se os termos semelhantes.
Exemplo:
(3a²y) * (2ay) = 6a³y²
3. Divisão
1º Caso: Divisão de monômios: Divide-se o coeficiente numérico do dividendo pelo 1º coeficiente do divisor, e a parte literal do dividendo pela do divisor, observando-se as regras para
divisão de potências de mesma base.
2º Caso: Divisão de polinômio por monômio: Divide-se cada termo do dividendo pelo monômio divisor.
Exemplo:
(42a³bx4) : (7ax²) = 6a²bx²
42) Produtos notáveis
Há certos produtos de polinômios, que, por sua importância, devem ser conhecidos desde logo. Vejamos alguns deles:
I. Quadrado da soma de dois termos:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.
Exemplo:
(2 + x)² = 2² + 2 * 2x + x² = 4 + 4x + x²
II. Quadrado da diferença de dois termos:
(a - b)² = a² - 2ab + b²
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.
Exemplo:
(x – 3) = x² + 2 * x * (- 3) + (- 3)² = x² - 6x + 9
III. Produto da soma de dois termos por sua diferença:
(a + b) * (a – b) = a² – b²
O produto da soma de dois termos por sua diferença é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.
Exemplo:
(1 - √3 ) * (1 + √3 ) = 1² - ( √3 )² = 1 – 3 = - 2
43) Fatoração
Fatorar um polinômio é escreve-lo sob a forma de um produto indicado.
Fator comum dos termos de um polinômio é o monômio cujo coeficiente numérico é o máximo divisor comum dos coeficientes dos termos do polinômio e cuja parte literal é formada pelas letras comuns com os menores expoentes.
Apresentando um fator comum, o polinômio pode ser escrito como o produto de dois fatores: o 1º é o fator comum e o 2º é obtido dividindo-se o polinômio original pelo fator comum.
Exemplos:
a) Fatorando o polinômio 4ax² + 8a²x³ + 2a³x tem-se:
b) Fatorar: 5x²y + x4y³ + 2x². O fator comum é x².
Assim: 5x²y + x4y³ + 2x² = x² (5y + x²y³ + 2)
44) Exercícios
Efetuar:
http://mtm.ufsc.br/~will/disciplinas/20152/mtm5103/mtmbasica.pdf
http://pt.slideshare.net/comentada/apostila-mb-cefet
Confirme os resultados abaixo.
b) m.m.c. (4, 3) = 12
c) m.m.c. (3, 5, 8) = 120
d) m.m.c. (8, 4) = 8
e) m.m.c. (60, 15, 20, 12) = 60
14)Máximo Divisor Comum (m.d.c.)
O m.d.c. a vários números é o maior número que os divide.
Exemplo: Encontrar o m.d.c. entre 12, 18 e 36.
Fatorando cada um dos números em fatores primos, temos:
12 = 2².3
18 = 2.3²
36 = 2².3²
Agora tomemos as menores potências dos fatores em comum apresentados acima:
m.d.c.(12, 18, 36) = 2.3 = 6.
Quando o m.d.c. entre dois números é igual a 1, dizemos que eles são relativamente primos.
Exemplo: 5 e 9 são relativamente primos, pois 5 = 5.1 e 9 = 3².1.
Sendo 1 o único fator comum a estes números.
Confirme os resultados abaixo:
b) m.m.c. (9, 6) = 3
c) m.m.c. (36, 45) = 9
d) m.m.c. (12, 64) = 4
e) m.m.c. (20, 35, 45) = 5
15) Exercícios:
a) 2 + 3 – 1 =
b) – 2 – 5 + 8 =
c) – 1 – 3 – 8 + 2 – 5 =
d) 2 * (-3) =
e) (-2) * (-5) =
f) (-10) * (-1) =
g) (-1) * (-1) * (-2) =
n) 2{ 2 - 2[ 2 - 4 ( 3* 2:3 ) + 2 ]} + 1 =
o) 8 -{ - 20[ ( - 3 + 3 ):( - 58 )] + 2 ( - 5 ) } =
p) 0,5 * 0,4 : 0,2 =
q) 0,6 : 0,03 * 0,05 =
r) 5 : 10 =
s) 3 : 81 * 0,5 =
t) Calcule o m.m.c. e o m.d.c. entre:
a. 36 e 60
b. 18, 20 e 30
c. 12, 18 e 32
Definição: Fração é um quociente indicado onde o dividendo é o numerador e o divisor é o denominador.
As frações que serão apresentadas a seguir, partem de um círculo inteiro que ao ser dividido em partes iguais formam as frações
A fração e imprópria quando o numerador é maior que o denominador, sendo possível representá-la por um número misto e reciprocamente.
Exemplos:
Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um número diferente de zero obtém-se uma fração equivalente à inicial.
Exemplos:
17) Soma algébrica de frações
Reduzem-se ao menor denominador comum e somam-se algebricamente os numeradores.
OBS: O menor denominador comum é o m.m.c. dos denominadores.
Exemplos:
Multiplicam-se os numeradores entre si, da mesma maneira se faz com os denominadores.
Exemplos:
Multiplica-se a fração dividenda pelo inverso da fração divisora.
Exemplos:
20) Comparação de Frações
Para comparar as frações devemos reduzi-las ao mesmo denominador e comparar os numeradores, a qual tiver o numerados maior será a maior fração.
OBS.:
a < b lê-se “a é menor do que b”
a > b lê-se “a é maior do que b”
m.m.c.(3, 7) = 21.
Então, ao transformar os denominadores em 21, devemos multiplicar os numeradores pelo fatores de transformações.
Como 18 é maior que 14, podemos afirmar que:
O fator de transformação da fração é 3 pois 3*7 = 21, e o da fração é 7, pois 3*7 = 21.
21) Exercícios
Simplifique as frações, ou coloque-as na forma irredutível:
Comparar as frações:
Resolva:
Simplifique:
V - POTÊNCIAS
Definição: Potência de grau n de um número A é o produto de n fatores iguais a A.
An= A∗A∗.. .∗A
nvezes
A é a base da potência e n é o expoente da potência, que determina seu grau.
Assim:
2³ = 2 * 2 * 2 = 8 ∴ 2³ = 8
(- 1)4 = (- 1) * (- 1) * (- 1) * (- 1) = 1 ∴ (- 1)4 = 1
CASOS PARTICULARES:
a) A potência de expoente 1 (1º grau) é igual à base:
b) Toda potência de 1 é igual a 1:
1² = 1; 1³ = 1
c) Toda potência de 0 é igual a 0:
0² = 0; 0³ = 0
d) Toda potência de expoente par é positiva:
(- 2)4 = 16; 24 = 16; (- 3)² = 9; 3² = 9
e) Toda potência de expoente ímpar tem o sinal da base:
3³ = 27 ; (- 3)³ = - 27
25 = 32 ; (- 2)5 = - 32
22) Multiplicação de potências de mesma base
Mantém-se a base comum e soma-se os expoentes.
23) Divisão de potências de mesma base
Mantém-se a base comum e diminuem-se os expoentes
24) Multiplicação de potências de mesmo grau (semelhantes)
Multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente comum.
25) Divisão de potências de mesmo grau (semelhantes)
Dividem-se as bases e conserva-se o expoente comum.
26) Potenciação de potência
Eleva-se a base ao produto dos expoentes.
Toda potência de base diferente de zero e expoente zero é igual a unidade.
28) Expoente negativo
Qualquer número diferente de zero, elevado a expoente negativo é igual a uma fração cujo numerador é a unidade e cujo denominador é a mesma base da potência elevada ao mesmo expoente com o sinal positivo.
29) Potências de 10
Efetuam-se as potências de 10 escrevendo à direita da unidade tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.
30) Números decimais
Todo número decimal equivalente a um produto do qual um fator é o número escrito como inteiro, e outro é uma potência de dez com expoente negativo, com tantas unidades no expoente quantas são as ordens decimais.
a) 0,001 = 10-3
b) 0,002 = 2 * 10-3
c) 0,00008 = 8 * 10-5
d) 1,255 = 1255 * 10-3
e) 2 * 10-3 = 0,002
31) Exercícios
a) 1³ =
b) 04 =
c) (- 2)³ =
d) (- 4)³ =
e) (- 2)4 =
f) (- 4)4 =
g) 2³ * 25 =
h) 3² * 3 * 35 =
i) 35 : 34 =
a) 20 000 =
b) 4 800 000 =
c) 0,01 =
d) 0,000045 =
Efetuar, utilizando potência de 10:
Definição: Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de A, ao número ou expressão que, elevado à potência n reproduz A.
OBS: Representa-se a raiz pelo símbolo √
Assim:
a) √16 = 4 porque 4² = 16
b) 3√ 8 = 2 porque 2³ = 8
c) 4√81= 3 = porque 34 = 81
É possível retirar um fator do radical, bastante que se divida o expoente do radicando pelo índice do radical.
Exemplos:
33) Adição e subtração de radicais semelhantes
Radicais de mesmo índice e mesmo radicando são semelhantes. Na adição e subtração de radicais semelhantes, operam-se os coeficientes e conserva-se o radical.
Exemplos:
34) Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice
Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e dá-se ao produto (quociente) o índice comum.
35) Potenciação de radicais
Eleva-se o radicando à potência indicada e conserva-se o índice.
Exemplo:
Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando.
Exemplos:
37) Expoente fracionário
Uma potência com expoente fracionário pode ser convertida numa raiz, cujo radicando é a base, o índice é o denominador do expoente, sendo o numerador o expoente do radicando.
Exemplos:
38) Racionalização de denominadores
1º Caso: O denominador é um radical do 2º grau. Neste caso multiplica-se pelo próprio radical o numerador e o denominador da fração.
Exemplo:
2º Caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois termos em que um deles, ou ambos, são radicais do 2º grau. Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador.
OBS: A expressão conjugada de a + b é a – b.
Na racionalização aparecerá no denominador um produto do tipo:
(a + b) * (a – b) = a² - b²
Assim:
(5 + 3) * (5 – 3) = 5² - 3² = 25 – 9 = 16
Efetuar:
Dar a resposta sob forma de radical, das expressões seguintes:
Racionalizar o denominador das frações seguintes:
Simplifique:
40) Expressões algébricas
São indicações de operações envolvendo letras ou letras e números.
Exemplos:
a) 5ax – 4b
b) ax² + bx + c
c) 7a²b
OBS: No exemplo 3, onde não aparece indicação de soma ou de diferença, temos um monômio em que 7 é o coeficiente numérico e a²b é a parte literal.
41) Operações com expressões algébricas
1. Soma algébrica
Somente é possível somar ou subtrair termos semelhantes (monômios que possuem a mesma parte literal). Para somar ou subtrair termos semelhantes (reduzir termos semelhantes) repete-se a parte literal e opera-se com os coeficientes.
Exemplo:
3x²y – 4xy² + 7xy² + 5x²y = 8x²y + 3xy²
2. Multiplicação
Multiplica-se cada termo do primeiro fator por todos os termos do segundo fator e reproduzem-se os termos semelhantes.
Exemplo:
(3a²y) * (2ay) = 6a³y²
1º Caso: Divisão de monômios: Divide-se o coeficiente numérico do dividendo pelo 1º coeficiente do divisor, e a parte literal do dividendo pela do divisor, observando-se as regras para
divisão de potências de mesma base.
2º Caso: Divisão de polinômio por monômio: Divide-se cada termo do dividendo pelo monômio divisor.
Exemplo:
(42a³bx4) : (7ax²) = 6a²bx²
42) Produtos notáveis
Há certos produtos de polinômios, que, por sua importância, devem ser conhecidos desde logo. Vejamos alguns deles:
I. Quadrado da soma de dois termos:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.
Exemplo:
(2 + x)² = 2² + 2 * 2x + x² = 4 + 4x + x²
II. Quadrado da diferença de dois termos:
(a - b)² = a² - 2ab + b²
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.
Exemplo:
(x – 3) = x² + 2 * x * (- 3) + (- 3)² = x² - 6x + 9
III. Produto da soma de dois termos por sua diferença:
(a + b) * (a – b) = a² – b²
O produto da soma de dois termos por sua diferença é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.
Exemplo:
(1 - √3 ) * (1 + √3 ) = 1² - ( √3 )² = 1 – 3 = - 2
Fatorar um polinômio é escreve-lo sob a forma de um produto indicado.
Fator comum dos termos de um polinômio é o monômio cujo coeficiente numérico é o máximo divisor comum dos coeficientes dos termos do polinômio e cuja parte literal é formada pelas letras comuns com os menores expoentes.
Apresentando um fator comum, o polinômio pode ser escrito como o produto de dois fatores: o 1º é o fator comum e o 2º é obtido dividindo-se o polinômio original pelo fator comum.
Exemplos:
a) Fatorando o polinômio 4ax² + 8a²x³ + 2a³x tem-se:
b) Fatorar: 5x²y + x4y³ + 2x². O fator comum é x².
Assim: 5x²y + x4y³ + 2x² = x² (5y + x²y³ + 2)
44) Exercícios
Efetuar:
Fatorar:
a) 15a² - 10ab =
b) 3a²x – 6b²x + 12x =
VIII – EQUAÇÕES DO 1º GRAU
UM BREVE RELATO DA HISTÓRIA DA EQUAÇÃO
As equações foram introduzidas pelo conselheiro do rei da França, Henrique IV, o francês François Viète, nascido em 1540. Através da matemática Viète decifrava códigos secretos que era mensagens escritas com a substituição de letras por numerais. Desta forma Viète teve uma idéia simples, mas genial: fez o contrário, ou seja, usou letras para representar os números nas equações.
http://pt.slideshare.net/comentada/apostila-mb-cefet
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