EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE CONJUNTOS
a) Exatamente 16
b) Exatamente 10
c) No máximo 6
Atividades de Matemática
d) No mínimo 6
e) Exatamente 18
Solução:
Usando o teorema da inclusão, teremos:
N(M ∪ H) = N(M) + N(H) – N( M ∩ H) substituindo obteremos
N(M ∪ H) = 16 + 20 - N( M ∩ H)
N(M ∪ H)= 36 - N( M ∩ H)
Ora mais o conjunto tem 30 alunos e isto significa que tem no máximo 30 alunos.
Assim 30 = 36 - N( M ∩ H)
Logo N( M ∩ H) = 6 , concluímos que no mínimo 6 alunos gostam de matemática e de história.
Item d
Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 elementos e C com 4 elementos, então:
a) A ∩ B tem no máximo 1 elemento.
b) A ∪ C tem no máximo 5 elementos.
c) (A ∩ B) ∩ C tem no máximo 2 elementos.
d) (A ∪ B) ∩ C tem no máximo 2 elementos.
e) A ∩ Ø tem pelo menos 2 elementos.
Solução:
a) É falso já que o número de elementos de A é 2, isso significa que A ∩ B pode ter no máximo 2 elementos.
b) É falso já que A ∪ C pode ser no máximo 6 elementos, basta considerar o caso em que os conjuntos não têm nenhum elemento em comum.
c) Esse é o item verdadeiro como A tem 2 elementos considere que esses 2 elementos também pertence a B e assim A ∩ B = 2, logo essa interseção com o conjunto C pode ter no máximo 2 elementos .
d) É falso já que A ∪ B pode ter no máximo 5 elementos e como C tem 4 elementos, isso implica que (A ∪ B) ∩ C tem no máximo 1 elemento.
e) A ∩ Ø tem exatamente 2 elementos já que por definição o conjunto vazio não possui nenhum elemento.
Numa universidade são lidos apenas 2 jornais X e Y. 80% dos alunos da mesma lêem o jornal X e 60 % lêem o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que lêem ambos.
a) 80%
b) 14 %
c) 40%
d)60%
e) 48%
Solução:
Pela leitura é garantido que a interseção é diferente de vazio, então analisando o diagrama temos:
80% - x+ x+ 60% - x = 100%
140% - x = 100%
X= 40 %
(FUVEST) Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas A, B e C de um determinado produto apresentou os seguintes resultados:
A=48% A e B = 18%
B=45% B e C = 25%
C=50% A e C= 15% NENHUM DAS MARCAS A, B e C= 5%
a) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas A, B e C.
b) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas uma das 3 marcas.
Solução
a) Veja a figura
Como não sabemos o valor da interseção dos 3 conjuntos vamos chamar de x. Assim
1) A ∩ B ∩ C = x
2) A ∩ B = 18% - x
3) A ∩ C = 15% - x
4) B ∩ C = 25% - x
Logo,
5) n(A)= 48 – (15 –x +x +18-x)= 15 + x
6) n(B)= 45 - (18 – x +x 25 – x)= 2+ x
7) n(C)= 50 – (15- x +x + 25 – x)=10 + x
Lembrando que 5% não consome nenhuma das marcas.
Então, basta agora somar todos esses valores e igual a 100% que representa todos os entrevistados.
15% + x – x + 15% - x +18% -x + 2% +x + 25% -x + 10% + x + 5% = 100%
90% + x = 100%
X= 10%
b)
15% + x + 2% + x 10% +x = y
27% + 3x= y
27% + 3. 10% = y
27% + 30%= y
57% = y
(PUC-SP) Em um exame de vestibular, 30% dos candidatos eram da área de Humanas. Dentre esses candidatos, 20 % optaram pelo curso de Direito. Do total dos candidatos, qual era a porcentagem dos que optaram por Direito.
a) 50%
b)20%
c)10%
d) 6%
e) 5%
Solução:
Observem que essa é uma questão bem simples basta apenas o candidato ter conhecimento de porcentagem, já que podemos ver essa pergunta como sendo quanto é 20% de 30%.
Assim 30% X 20/100 = 6% ATIVIDADES MATEMÁTICA
e) Exatamente 18
Solução:
Usando o teorema da inclusão, teremos:
N(M ∪ H) = N(M) + N(H) – N( M ∩ H) substituindo obteremos
N(M ∪ H) = 16 + 20 - N( M ∩ H)
N(M ∪ H)= 36 - N( M ∩ H)
Ora mais o conjunto tem 30 alunos e isto significa que tem no máximo 30 alunos.
Assim 30 = 36 - N( M ∩ H)
Logo N( M ∩ H) = 6 , concluímos que no mínimo 6 alunos gostam de matemática e de história.
Item d
a) A ∩ B tem no máximo 1 elemento.
b) A ∪ C tem no máximo 5 elementos.
c) (A ∩ B) ∩ C tem no máximo 2 elementos.
d) (A ∪ B) ∩ C tem no máximo 2 elementos.
e) A ∩ Ø tem pelo menos 2 elementos.
Solução:
a) É falso já que o número de elementos de A é 2, isso significa que A ∩ B pode ter no máximo 2 elementos.
b) É falso já que A ∪ C pode ser no máximo 6 elementos, basta considerar o caso em que os conjuntos não têm nenhum elemento em comum.
c) Esse é o item verdadeiro como A tem 2 elementos considere que esses 2 elementos também pertence a B e assim A ∩ B = 2, logo essa interseção com o conjunto C pode ter no máximo 2 elementos .
d) É falso já que A ∪ B pode ter no máximo 5 elementos e como C tem 4 elementos, isso implica que (A ∪ B) ∩ C tem no máximo 1 elemento.
e) A ∩ Ø tem exatamente 2 elementos já que por definição o conjunto vazio não possui nenhum elemento.
a) 80%
b) 14 %
c) 40%
d)60%
e) 48%
Solução:
Pela leitura é garantido que a interseção é diferente de vazio, então analisando o diagrama temos:
80% - x+ x+ 60% - x = 100%
140% - x = 100%
X= 40 %
A=48% A e B = 18%
B=45% B e C = 25%
C=50% A e C= 15% NENHUM DAS MARCAS A, B e C= 5%
a) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas A, B e C.
b) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas uma das 3 marcas.
Solução
a) Veja a figura
Como não sabemos o valor da interseção dos 3 conjuntos vamos chamar de x. Assim
1) A ∩ B ∩ C = x
2) A ∩ B = 18% - x
3) A ∩ C = 15% - x
4) B ∩ C = 25% - x
Logo,
5) n(A)= 48 – (15 –x +x +18-x)= 15 + x
6) n(B)= 45 - (18 – x +x 25 – x)= 2+ x
7) n(C)= 50 – (15- x +x + 25 – x)=10 + x
Lembrando que 5% não consome nenhuma das marcas.
Então, basta agora somar todos esses valores e igual a 100% que representa todos os entrevistados.
15% + x – x + 15% - x +18% -x + 2% +x + 25% -x + 10% + x + 5% = 100%
90% + x = 100%
X= 10%
b)
15% + x + 2% + x 10% +x = y
27% + 3x= y
27% + 3. 10% = y
27% + 30%= y
57% = y
a) 50%
b)20%
c)10%
d) 6%
e) 5%
Solução:
Observem que essa é uma questão bem simples basta apenas o candidato ter conhecimento de porcentagem, já que podemos ver essa pergunta como sendo quanto é 20% de 30%.
Assim 30% X 20/100 = 6% ATIVIDADES MATEMÁTICA
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